La chute des corps : Galilée tombe à pic !

Il en a déjà été question par deux fois vu d’ici, les travaux de Nicolas Copernic (1473 – 1543), Giordano Bruno (1548 – 1600), Johannes Kepler (1571 – 1630) et de Galilée (1564 – 1642), lesquels ont été précédés par Nicole Oresme (vers 1320-1322 – 1382), ont intégralement remis en cause le modèle aristotélicien. Dans cette remise en cause, Galilée ne s’est pas limité aux seules observations astronomiques. Il s’est attaqué à plusieurs autres sujets fondamentaux, parmi lesquels un qui a une grande influence sur mes domaines de recherche : la chute des corps.

Ce qu’Aristote pensait

Le système physique d’Aristote¹Ἀριστοτέλης. Φυσικὴ ἀκρόασις. Une traduction française : Lambros Couloubaritsis, 1998. La Pysique d’Aristote, Ousia, Bruxelles. (384 – 322 avant Jésus-Christ) abordait déjà la chute des corps. Souvent, on prétend que dans ce système les corps tombent d’autant plus vite sur Terre qu’ils sont plus lourds. En réalité, c’est un peu plus sophistiqué.

Pour Aristote, la vitesse de chute d’un objet dépend de sa capacité à fendre le milieu – c’est-à-dire, pour l’exprimer de manière plus moderne, de fendre l’atmosphère. Ainsi, la vitesse de chute sera-t-elle dépendante non seulement du poids de l’objet, mais aussi de sa forme et de son orientation. Le milieu peut même éventuellement effectuer une action en retour, ouvrant la voie à la poussée d’Archimède (287 – 212 avant Jésus-Christ).

De nos jours, on met plutôt en avant le fait que le système physique aristotélicien a été intégralement invalidé, ce qui est indéniable. Cependant, il faut bien constater que, longtemps même après Galilée, le modèle d’Aristote était conforme aux observations. Pourtant, Galilée sentait que quelque chose n’allait pas.

Chute d’objets du sommet de la tour de Pise

N’en déplaise à Claude Allègre (né en 1937), si on laisse tomber une boule de pétanque en même temps qu’une balle de tennis du sommet de la tour Zamansky du campus de Jussieu (université Pierre et Marie Curie, Paris 6), laquelle mesure 90 m, elles ne tomberont pas en même temps au sol en raison des frottements de l’air. L’étude théorique – je la détaille en annexe de cet article, mais vous pouvez parfaitement ne pas lire cette annexe si les calculs vous rebutent – montre que la boule de pétanque touchera le sol au bout d’environ 4,4 s. À ce moment, la balle de tennis se trouvera à presque 24 m au-dessus du sol : une hauteur que l’on peut parfaitement distinguer à l’œil nu. La durée totale de chute de la balle de tennis est d’environ 5,4 s, c’est-à-dire à peu près 1 s de plus que pour la boule de pétanque.

Ainsi, contrairement à ce que l’on entend trop souvent dire, Galilée n’a pas convaincu de l’invalidité du système d’Aristote en faisant tomber deux boules différentes du sommet de la tour de Pise. L’eût-il fait que tout à chacun aurait constaté ce que prévoyait le système aristotélicien : la plus lourde aurait touché le sol en premier.

Mais alors, quelle contradiction Galilée a-t-il apporté à Aristote ?

Galilée et les expériences de la pensée

Peu avant 1600, Galilée montre par un raisonnement mathématique que si l’action du milieu (c’est-à-dire de l’atmosphère) est négligeable, alors un objet chutant sans avoir subi d’impulsion au départ aura une vitesse proportionnelle à la durée de la chute²Galileo Galilei, 1590. De Motu. Autrement dit, il donne une première analyse mathématique de la chute libre sans interaction avec l’atmosphère, c’est-à-dire concrètement dans le vide. Il rejoint ainsi les spéculations de Nicole Oresme³Nicole Oresme, entre 1400 et 1420. Traité de la sphère..

La nouveauté importante est que Galilée s’est intéressé à la chute des corps dans le vide. Cependant, à son époque il n’était pas possible de réaliser les conditions du vide : Galilée s’est intéressé à une situation abstraite qui ne pouvait pas être observée. Pour bien saisir le phénomène de la chute des corps, il s’est donc livré à un exercice purement intellectuel dans lequel il a cherché à comprendre une situation idéalisée en écartant tout phénomène qui pourrait entraver la bonne compréhension du sujet auquel il s’intéressait. On parle d’expérience de la pensée, une méthodologie qu’il a introduite⁴Ernst Mach, 1883. Die Mechanik in ihrer Entwicklung. Historisch-kritisch dargestellt. Un traduction française par Émile Bertrand : Ernst Mach, 1904. La Mécanique, Exposé historique et critique de son développement, Herman, republié en 1987. Disponible en ligne. et qui sera régulièrement utilisé par la suite.

Cependant, c’est dans son dernier ouvrage⁵Galileo Galilei, 1638. Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze. Une traduction française par Maurice Clavelin : Galilée, 1995. Discours concernant deux sciences nouvelles, PUF. qu’il a donné son analyse la plus complète de la chute des corps.

Aristote en chute libre

Galilée avait envisagé le cas de deux pierres, mais je vous propose d’adapter l’expérience en considérant une statue d’Aristote : cette expérience se déroulant dans la pensée, il nous est aisé d’adopter le matériel que nous souhaitons. Lâchons cette statue sans vitesse initiale du sommet de la tour de Pise : elle atteindra le sol avec une vitesse que je vous propose d’appeler Raoul – notons-la v_s.

En considérant deux pierres, Galilée a eu l’idée d’étudier la chute non plus d’un corps, mais de deux. Pour pouvoir faire de même, scions donc la tête de la statue d’Aristote pour la détacher du corps.

Lâchons maintenant la tête depuis le sommet de la tour de Pise : elle atteint le sol avec la vitesse v_t. Sous les mêmes conditions, le corps atteindra le sol avec la vitesse v_c. Selon la théorie physique d’Aristote, les vitesses à l’impact au sol des deux morceaux de la statue, étant chacun moins lourds que la statue entière, devraient être inférieures à la vitesse à l’impact de la statue complète. Mathématiquement, nous avons donc les relations v_t < v_s et v_c < v_s. Par ailleurs, la tête aillant un poids inférieur au reste du corps, selon Aristote nous devrions avoir v_t < v_c. Enfin, dans la mesure où les deux parties de la statue constituent toute la matière de la statue, cette même théorie donne v_s = v_t + v_c.

Dernière étape, attachons les deux parties de la statue à l’aide d’une corde suffisamment solide et dont le poids est suffisamment faible pour être négligeable en regard des poids de chacun des éléments de la statue – encore une fois, l’expérience se déroulant dans notre esprit, une telle corde existe. Lâchons sans vitesse initiale l’ensemble – en physique, on parle désormais de système, car l’usage des mots varie au cours du temps – formé de la tête et du corps de la statue raccordés par la corde, qui atteindra le sol à la vitesse v_e. Toujours en accord avec la théorie aristotélicienne, nous devrions avoir v_e = v_t + v_c = v_s, autrement dit la vitesse de chute de cet ensemble devrait être la même que celle de la statue complète. Nous avons donc v_e > v_c. Cependant, encore une fois en suivant la même théorie physique, dans la mesure où v_t < v_c, la corde devrait se tendre et la tête, étant l’élément de vitesse la plus faible, devrait ralentir la chute du corps. En conséquence, la vitesse de chute de l’ensemble devrait être inférieure à celle du corps seul, de sorte que nous devrions avoir la relation v_e < v_c

Avec cette expérience de la pensée, Galilée a mis en évidence que le système aristotélicien prévoit simultanément v_e > v_c et v_e < v_c, c’est-à-dire qu’il prévoit à la fois que la vitesse de chute de l’ensemble devrait être supérieure à la vitesse de chute du corps de la statue et inférieure à cette dernière vitesse. Il contient donc une contradiction interne.

Vers une nouvelle théorie physique

Pour résoudre cette contradiction, Galilée en arrive à la conclusion que, en l’absence d’action due au milieu (l’atmosphère), tous les corps tombent à la même vitesse quels que soient leurs formes, poids et compositions. Plus de quatre siècles plus tard, en utilisant un marteau et une plume sur la Lune, Dave Scott, le commandant de la mission Apollo 15, a en effet mis en évidence que la vitesse de chute dans le vide est indépendante du poids :

Dit avec les termes de la physique classique, dont Galilée est un précurseur et qui sera formalisée par Isaac Newton (1642 ou 1643 – 1727) dont il sera prochainement question vu d’ici, le modèle aristotélicien opère une confusion entre la force qui est la cause de la chute des corps, à savoir la gravitation, et les forces qui s’opposent à cette chute, à savoir les frottements de l’air et éventuellement la poussée d’Archimède (généralement négligeable dans le cas de la chute d’un corps dans l’atmosphère terrestre).

Plusieurs choses essentielles se sont nouées dans ce cas. Tout d’abord, Galilée a eu recours aux mathématiques pour exprimer le problème physique auquel il s’attelait. Même si Nicolas Copernic avait déjà entamé cette évolution, c’est avec Galilée que l’emploi des mathématiques tend à devenir systématique.

Par ailleurs, pour contredire le système aristotélicien, Galilée a utilisé des arguments internes à ce système. En effet, comme j’y ai déjà fait allusion vu d’ici, d’autres systèmes que celui d’Aristote avaient été proposés. Notamment, celui de Nicolas Copernic était assez largement utilisé à l’époque de Galilée pour le calcul des positions des astres en raison de sa précision, même s’il n’était globalement pas envisagé comme pouvant traduire la réalité – les écrits de Nicolas Copernic ne seront portés à l’Index qu’en 1616⁶Pierre-Noël Mayaud, 1997. La Condamnation des livres coperniciens et sa révocation à la lumière de documents inédits des Congrégations de l'Index et de l'Inquisition, Université pontificale grégorienne, 1997. Partiellement disponible en ligne.. Ces différents systèmes n’avaient cependant pas provoqué de remise en cause durable du système dominant. En revanche, la démonstration de son incohérence interne a été une cause importante de son abandon.

Pour mettre en évidence cette incohérence, Galilée a eut l’idée de passer de un à deux corps. L’étude de deux corps en interaction mutuelle est un cas depuis souvent étudié en mécanique. Il a permis plusieurs avancées théoriques.

Enfin, Galilée a finalement été d’une grande prudence scientifique. En effet, il a à plusieurs reprises rassemblé des éléments qui chacun remettait en cause le système aristotélicien – le cas de la chute des corps abordé dans cet article, ses observations astronomiques dont j’ai déjà parlé, entre autres. Cependant, notamment pour s’assurer qu’il ne faisait pas lui-même d’erreur d’interprétation, il a attendu d’avoir accumulé suffisamment d’éléments différents corroborant le fait qu’il fallait l’abandonner avant de véritablement prendre position contre lui. Cette prudence, notamment dans l’idée de ne pas conclure trop vite, est désormais au cœur des démarches scientifiques.

Ces éléments ont ainsi conduit à l’établissement d’une nouvelle physique, que l’on nomme désormais physique classique et que je vais continuer à développer dans ces pages.

Annexe : calcul du temps de chute depuis une tour

Les calculs présentés ici se basent sur la mécanique classique, dont Galilée est un initiateur et qui sera formalisée par Isaac Newton⁷Isaac Newton, 1687. Philosophiae naturalis principia mathematica, Joseph Streater, Londres. Disponible en ligne. Une version française par Émilie du Châtelet : Isaac Newton, 1759. Principes mathématiques de la philosophie naturelle, deuxième édition, Paris. Disponible en ligne.. Les prochains articles de vulgarisation de ce site la détailleront.

Nous allons chercher à déterminer à quel moment deux boules, à savoir une boule de pétanque et une balle de tennis, heurteront le sol après avoir été lâchées simultanément sans vitesse initiale du sommet de la tour Zamansky. Dans la mesure où cette chute s’effectue sans vitesse initiale, elle est rectiligne dans le référentiel géo-centré (c’est-à-dire par rapport au centre de la Terre) ; on s’intéressera donc uniquement à la vitesse selon la verticale. Nous prendrons comme origine le pied de la tour et notre axe sera dirigé vers le haut.

Soient t l’instant considéré (en s), v la vitesse de chute de l’objet (en m s⁻¹), m sa masse (en kg), g l’accélération due à la gravité terrestre (au niveau de la mer g = 9,81 m s⁻²) et K une constante que je m’en vais préciser. Dans le cas d’une boule en chute libre dans l’atmosphère sans vitesse initiale, on a la relation suivante :

Pour S l’aire de la surface de la boule perpendiculaire à la direction du mouvement (en m²), C_x le coefficient aérodynamique du mobile (sans dimension) et ρ la masse volumique de l’air – au niveau de la mer et à 15 °C, ρ = 1,225 kg m⁻³ –, on a :

Pour une sphère, l’expérience donne C_x = 0,44. Par ailleurs, la masse d’une boule de pétanque est 700 g (soit 0,7 kg) et son diamètre (d) 7,5 cm (soit 0,075 m), tandis que la masse d’une balle de tennis est 55 g et son diamètre 6,7 cm. Pour S, dans le cas d’une sphère et aux vitesses considérées, nous prendrons l’aire du disque de même diamètre que la sphère :

Tout ceci donne pour la boule de pétanque K ≈ 1,19 ⋅ 10⁻³ kg m⁻¹ et pour la balle de tennis K ≈ 9,50 ⋅ 10⁻⁴ kg m⁻¹.

Pour ceux qui connaissent déjà les équations différentielles – c’est-à-dire les équations impliquant les dérivées de fonctions, toutes notions que je présenterais dans un article ultérieur –, constatez que l’équation (1) est une équation à variables séparables. Elle implique que la boule ne pourra pas dépasser une vitesse maximum – obtenue lorsque que la dérivée de la vitesse, c’est-à-dire l’accélération, est nulle –, appelée vitesse limite et que je vous propose de noter v_l, déterminée par :

D’après nos calculs précédents, nous avons donc pour la boule de pétanque v_l ≈ 75,94 m s⁻¹ et pour la balle de tennis v_l ≈ 23,83 m s⁻¹. La vitesse limite de la boule de pétanque étant nettement supérieure à celle de la balle de tennis, on comprend bien que la première arrivera plus rapidement au sol que la dernière.

Si vous connaissez les équations différentielles à variables séparables, vous êtes donc en mesure de résoudre l’équation (1). Sinon, hé bien, je vous donne la solution :

Soit y la hauteur du centre de la boule par rapport au sol et y₀ sa hauteur initiale, c’est-à-dire y₀ = 90 m dans notre cas. Nous pouvons alors déterminer la hauteur où se situe la boule à l’instant t :

Pour déterminer le moment où la boule touche le sol, on résout l’équation (2) lorsque y = 0, c’est-à-dire :

Dans le cas de la boule de pétanque, on obtient un temps de chute d’environ 4,39 s, lequel vaut environ 5,43 s dans le cas de la balle de tennis. L’équation (2) nous permet de déterminer la hauteur au-dessus du sol à laquelle se trouve la balle de tennis lorsque la boule de pétanque heurte le sol, à savoir à 4,39 s : environ 23,89 m.